Занимательная Греция - Страница 54

Самое великое — это, стало быть, всегда самое беспорядочное. А что на свете самое великое? Бесконечность. Слово это вы знаете: математики давно освоили его в своей науке и производят над бесконечностью любые операции. Одного только не могут ни математики, ни мы с вами: представить себе эту бесконечность. Понять ее можно, а представить нельзя: так уж устроено человеческое сознание. А греки больше всего любили именно наглядность, именно вообразимость. Поэтому мысль о бесконечности вызывала у них раздражение и отвращение.

А ведь бесконечность подстерегает нас на каждом шагу. Сколько вещей вокруг нас, и все не похожи друг на друга, а с течением времени — и на самих себя. Недаром Гераклит плакал над бесконечной изменчивостью мира. И вот, чтобы ободриться и утешиться, Парменид и его ученик Зенон объявили: бесконечности не существует. Если допустить ее существование — получается нелепость. Смотрите сами.

Быстроногий Ахилл хочет догнать неповоротливую черепаху. Она находится на сто шагов впереди него. Ахилл бегает в сто раз быстрее черепахи. Бег начался; когда Ахилл догонит черепаху? Неожиданный ответ: никогда! Ахилл пробежит эти сто шагов, но за это время черепаха уползет вперед еще на один шаг. Ахилл пробежит этот шаг, но черепаха уйдет вперед на сотую часть шага. Ахилл одолеет эту сотую, но черепаха оторвется от него еще на одну сотую сотой, и так далее, до бесконечности: разрыв между Ахиллом и черепахой будет все микроскопичнее, но не исчезнет никогда. Нелепость? Нелепость. А почему? Потому что мы делили отрезки их пути до бесконечности.

Если, таким образом, самое беспорядочное на свете — это бесконечность, то что на свете самое упорядоченное, гармоничное, стройное? Единство. Если бы греки вышли против персов действительно «все как один», чтобы строй их был одним исполинским телом, — они победили бы врага немедленно. Единому вообще не нужна упорядоченность частей, потому что в нем нет частей — все однородно. Однородно не только в пространстве, но и во времени: единое не меняется, не крепнет и не слабеет, оно — вечно. Конечно, такого единства никто никогда не видел, но всякий может его представить. Мы говорим «бог»; а что такое бог? Существо вечное и совершенное в каждой частице. Совершенное — значит «самое лучшее», а самое лучшее может быть только одно; вот это и есть Единство, однородное, вечное и божественное.

Парменид как бы заочно успокаивал плачущего Гераклита. Да, в окружающем нас мире все течет, рождается и умирает, но есть и другой мир, мир мысли, в котором все неизменно и вечно. В здешнем мире Пифагор давно умер, мы его не увидим и не услышим; но мы можем подумать о нем, и он предстает нашей мысли как живой, — это значит, что мы заглянули умственным взором в тот мир, где он вечно жив. Какой же из этих двух миров настоящий и какой ненастоящий? Нам хочется ответить: окружающий нас — настоящий, а мысленный — выдуманный. Парменид отвечал наоборот: мир мысли — настоящий, а мир наших ощущений — ненастоящий. Потому что в человеческом сознании мысль — хозяин, а чувства — ее рабы, которые лишь питают ее: одно — образами зрения, другое — образами слуха и так далее. А кому можно больше доверять, хозяину или рабам? Грек отвечал сразу и твердо: хозяину.

Не спешите смеяться над чудаком Парменидом, который в добавление к окружающему нас миру придумал несуществующий второй. Мы еще увидим, как пересочинит этот его второй мир философ Платон. И тем более не смейтесь над тем, как доказывал Зенон, что движения нет и Ахилл никогда не догонит черепаху. Показать, что это не так, очень легко: шаг, два, и готово. А вот доказать, почему это не так, очень трудно. И философы даже в наши дни порой спорят с Зеноном, словно с современником.

Наглядная математика

«3 в квадрате будет 9», «3 в кубе будет 27». А вы задумывались, почему мы называем число, умноженное само на себя, квадратом, а умноженное само на себя и еще раз на себя — кубом? Потому что так представляли их греки. У них было, если можно так выразиться, зрительное мышление. Недаром в греческом языке «видеть» и «знать» были родственные слова (как в нашем — «видеть» и «ведать»). Оттого и был у греков такой сильный страх перед бесконечностью, что ее никак нельзя вообразить зрительно.

Нарисуйте в вашей тетрадке число 3 в виде трех точек подряд, как на кости домино. И подумайте: а как теперь удобнее всего нарисовать число 9? Очевидно — пририсовать над ним еще одно такое троеточие, а потом еще одно. Получится квадрат из 9 точек со стороной 3. Теперь возьмем три таких квадрата и положим их друг на друга. Получится куб из 27 точек со стороной 3. Вот так видели свои числа древние греки: как выложенные из камешков. Так что, кроме «квадратных» чисел, у них были и «продолговатые», а кроме «кубических» — и другие «объемные». Например, число 6 было продолговатым — как бы прямоугольником, у которого длина 3, а ширина 2. А число 30 — объемным: параллелепипедом, у которого длина 3, ширина 2, а высота 5.

(Почему «2 в квадрате — 4», — теперь понятно; но почему «2 — квадратный корень из 4»? Слово «корень» ввели в математику уже не греки, а арабы. Они предпочитали представлять мир не геометрическим, как греки, а органическим; и в этом мире из числа 2, как растение из корня, вырастает число 4, а потом 8, а потом 16 и все остальные степени.)

При греческом зрительном воображении приятно было перестраивать числа из фигуры в фигуру: например, представлять число 12 то как длинный узкий прямоугольник 6x2, то как короткий и широкий 3x4. Поэтому греки обращали большое внимание на набор делителей числа. Например, если число равнялось сумме собственных делителей, оно называлось «совершенным». Греки знали четыре таких числа — 6, 28, 496 и 8128. (Если хотите, убедитесь: 6 = 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3). А если из двух чисел каждое равнялось сумме делителей другого, эти числа назывались «дружащими»: например 220 и 284. (Если хотите, проверьте: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 и 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110.) Когда Пифагора спросили, что такое друг, он ответил: «Второй я» — и добавил: «Это как 220 и 284».